Espacio dual

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Este aviso fue puesto el 20 de febrero de 2017.

En matemáticas, la existencia de un espacio vectorial 'dual' refleja de una manera abstracta la relación entre los vectores fila (1×n) y los vectores columna (n×1) de una matriz. La construcción puede darse también para los espacios infinito-dimensionales y da lugar a modos importantes de ver las medidas, las distribuciones y el espacio de Hilbert. El uso del espacio dual es así, en una cierta manera, recurso del análisis funcional. Es también inherente a la transformación de Fourier.

El espacio dual algebraico

Dado cualquier espacio vectorial V sobre un cierto cuerpo F, definimos el espacio dual V* como el conjunto de todas las funcionales lineales en F, es decir, transformaciones lineales en V a valores escalares (en este contexto, un "escalar" es un miembro del cuerpo-base F). El propio V* se convierte en un espacio vectorial sobre F bajo las definiciones siguientes ('punto a punto') de la adición y de la multiplicación escalar

${\begin{cases}(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\\(a\phi )(x)=a\phi (x)\end{cases}}$

para todos φ, ψ en V*, a en F y x en V. En lenguaje del cálculo tensorial, los elementos de V a veces se llaman vectores contravariantes, y los elementos de V* vectores covariantes (y a campos de estos uno-formas).

Ejemplos

Si la dimensión de V es finita, entonces V* tiene la misma dimensión que V; si { e₁,..., e _n} es una base para V, entonces la base dual asociada { e¹,...,e ⁿ} de V* viene dada por:

e^{i}(e_{j})=\left\\right.

Específicamente, si se interpreta Rⁿ como espacio de columnas de n números reales, su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de filas de n números. Tal fila actúa en Rⁿ como funcional lineal por la multiplicación ordinaria de matrices. Si V consiste en el espacio de los vectores geométricos (flechas) en el plano, entonces los elementos del dual V* se pueden intuitivamente representar como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para dar un número de la manera siguiente: se cuenta cuántas de las líneas cruzan el vector.

Si V es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha e^j no produce una base para V* y la dimensión de V* es mayor que la de V. Considérese por ejemplo el espacio R ^(ω), cuyos elementos son las secuencias de números reales que tienen solo una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es R^ω, el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia (a_n) se aplica a un elemento (x_n) de R^(ω) para dar Σ_n x_na_n.

Transpuesta de una transformación lineal

Si $f:V\to W$ es una función lineal, se puede definir su transpuesta $f^{t}:W^{*}\to V^{*}$ por

f^{t}(\phi )=\phi \circ f\,

para cada $\phi$ en W*, la asignación $f\mapsto f^{t}$ genera un homomorfismo inyectivo entre el espacio de operadores lineales de V a W y el espacio de operadores lineales de W* a V*; este homomorfismo es un isomorfismo ssi W es finito-dimensional o V es trivial. Si la función lineal $f$ es representada por la matriz $A$ con respecto a dos bases de $V$ y $W$ , entonces $f^{t}$ es representada por la matriz transpuesta $A^{t}$ con respecto a las bases duales de $W^{*}$ y de $V^{*}$ . Si $g:W\to X$ es otra función lineal, se tiene $(g\circ f)^{t}=f^{t}\circ g^{t}$ . En el lenguaje de la teoría de las categorías, tomar el dual de los espacios vectoriales y la transpuesta de funciones lineales es por lo tanto un funtor contravariante de la categoría de los espacios vectoriales sobre F a sí misma.

Los productos bilineales y los espacios duales

Como vimos arriba, si V es finito-dimensional, entonces V es isomorfo a V*, solamente que el isomorfismo no es natural y depende de la base de V con que comenzamos. De hecho, cualquier isomorfismo Φ de V a V* define un producto bilineal no degenerado único en V por

$\langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,$

y cada producto bilineal no degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.

Espacio bidual (doble-dual) y teorema de reflexividad

A partir del espacio dual $V^{*}$ , definimos el espacio bidual $V^{**}$ como el conjunto de todas las aplicaciones lineales de $V^{*}$ en $F$ , donde $F$ es el cuerpo sobre el que se define el espacio vectorial $V$ . En notación matemática lo expresamos de la siguiente manera: $V^{**}=\hom _{F}(V^{*},F)$ donde Hom hace referencia a los homomorfismos sobre $F$ (aplicaciones lineales). Un importante resultado del espacio bidual es el siguiente:

Teorema de reflexividad

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $F$ . Sea $V^{*}$ su espacio dual y $V^{**}$ su espacio bidual. Existe una aplicación canónica $\phi :V\rightarrow V^{**}$ que transforma cada vector $v\in V$ en una forma lineal $\phi (v)\in V^{**}$ perteneciente al espacio bidual. Cada forma lineal $\phi (v)$ se define de la siguiente manera:

${\begin{array}{cccl}\phi (v):&V^{*}&\longrightarrow &F\\&\omega &\longmapsto &(\phi (v))(\omega ):=\omega (v)\end{array}}$

donde $\omega \in V^{*}$ es una forma lineal del espacio dual. Se verifica que $\phi :V\rightarrow V^{**}$ es lineal e inyectiva. Además, si el espacio vectorial $V$ es finito-generado,^[1] se verifica que $\phi$ es un isomorfismo.

Para demostrar el teorema, necesitamos un lema previo:

Lema

Dados dos vectores $v,v'\in V$ tales que $v\neq v'$ , existe al menos una forma lineal ${\overline {\omega }}\in V^{*}$ tal que ${\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')$

Demostración del lema
El enunciado a demostrar es equivalente al siguiente enunciado: Dado $v\in V$ tal que $v\neq 0$ , existe $\omega \in V^{*}$ tal que $\omega (e)\neq 0$ . Tomamos el subespacio vectorial generado por v, $\langle v\rangle$ , y sea ${\overline {V}}$ el subespacio suplementario del anterior. Como los anteriores subespacios son suplementarios, tenemos lo siguiente: $\langle v\rangle \oplus \;{\overline {V}}=\;V$ y deducimos que $\dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V+\dim _{F}(\langle v\rangle )\longrightarrow \dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-1$ . Ahora tomamos el paso al cociente y obtenemos $V/{\overline {V}}$ que es de dimensión 1, como podemos comprobar a continuación: $\dim _{F}V/{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-\dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-(\dim _{F}V-1)=\;\dim _{F}V-\dim _{F}V+1=\;1$ Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que $v\neq 0$ podemos construir una base de $V/{\overline {V}}$ con la clase de equivalencia de $v$ . Tenemos que $V/{\overline {V}}=\langle [v]\rangle$ , luego los elementos $V/{\overline {V}}$ son de la forma $\lambda [v],\;\;\lambda \in F$ . Definimos la siguiente aplicación lineal: ${\begin{array}{cccl}\omega ':&V/{\overline {V}}&\longrightarrow &F\\&\lambda [v]&\longmapsto &\lambda \end{array}}$ y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir: ${\begin{array}{ccccl}V&{\overset {\Pi }{\longrightarrow }}&V/{\overline {V}}&{\overset {\omega '}{\longrightarrow }}&F\\v&\longmapsto &[v]\\&&\lambda [v]&\longmapsto &\lambda \end{array}}$ , definimos $\omega =\omega '\circ \;\Pi$ . Luego $\omega$ es una composición de aplicaciones lineales, por lo tanto $\omega$ debe de ser también una aplicación lineal. Finalmente, hemos encontrado la aplicación lineal $\omega$ que verifica el enunciado a demostrar: $\omega (v)=\;\omega '(\Pi (v))=\;\omega '(\lambda [v])=\;\lambda \quad \mathrm {Q.E.D.}$

Demostración del teorema de reflexividad
Veamos que $\phi (e)\in V^{}$ es una forma lineal de $V^{}$ , para ello basta ver que verifica las propiedades de una aplicación lineal. Sean $\omega _{1},\omega _{2}\in V^{},\lambda _{1},\lambda _{2}\in F$ , veamos que: $(\phi (v))(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})\;{\overset {?}{=}}\;\lambda _{1}(\phi (v))(\omega _{1})+\lambda _{2}(\phi (v))(\omega _{2})$ $(\phi (v))(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})=(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})(v)=\lambda _{1}\omega _{1}(v)+\lambda _{2}\omega _{2}(v)=\lambda _{1}(\phi (v))(\omega _{1})+\lambda _{2}(\phi (v))(\omega _{2})\quad \mathrm {Q.E.D.}$ luego es lineal. A continuación veamos que $\phi :V\rightarrow V^{}$ es también lineal. Sean $v_{1},v_{2}\in V,\;\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in F$ , veamos que $\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2})\;{\overset {?}{=}}\;\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2})$ . Esta igualdad es equivalente a $(\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}))(\omega )\;{\overset {?}{=}}\;(\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2}))(\omega ),\quad \forall \omega \in V^{}$ Desarrollando el primer miembro: $(\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}))(\omega )=\omega (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2})=\lambda _{1}\omega (v_{1})+\lambda _{2}\omega (v_{2})$ y desarrollando el segundo miembro: $(\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2}))(\omega )=\lambda _{1}(\phi (v_{1}))(\omega )+\lambda _{2}(\phi (v_{2}))(\omega )=\lambda _{1}\omega (v_{1})+\lambda _{2}\omega (v_{2})$ obtenemos cosas idénticas, por lo que hemos demostrado que la aplicación $\phi$ es lineal. Veamos ahora que $\phi :V\rightarrow V^{*}$ es inyectiva. Sean $v,v'\in V,\;\;v\neq v'$ , veamos que $\phi (v)\neq \phi (v')$ . Como $v\neq v'$ , por el lema anterior, existe ${\overline {\omega }}\in V^{}$ tal que ${\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')$ . Ahora por la definición de $\phi$ tenemos lo siguiente: ${\begin{cases}(\phi (v))({\overline {\omega }})=\;{\overline {\omega }}(v)\\(\phi (v'))({\overline {\omega }})=\;{\overline {\omega }}(v')\end{cases}}$ y como sabemos que ${\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')$ es cierto, deducimos que $(\phi (v))({\overline {\omega }})\neq (\phi (v'))({\overline {\omega }})$ por lo que hemos demostrado que $\phi$ es inyectiva. Por último veamos que si $V$ es finito-generado entonces $\phi$ es un isomorfismo. Como $V$ es finito-generado, $\dim _{F}V=n,\;\;n\in \mathbb {Z} ^{+}$ . También sabemos que $\dim _{F}V=\;\dim _{F}V^{}=\;\dim _{F}V^{}$ luego $V^{}$ también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de $V$ . Como $\phi$ es lineal e inyectiva podemos deducir lo siguiente: $\dim _{F}V=\;\dim _{F}\ker(\phi )+\dim _{F}Im(\phi )$ , por ser $\phi$ una aplicación lineal. $\ker(\phi )=\;0\longrightarrow \dim _{F}\ker(\phi )=\;0$ , por ser $\phi$ inyectiva. De las igualdades anteriores deducimos que $\dim _{F}V=\;\dim _{F}V^{}=\;\dim _{F}\operatorname {im} (\phi )$ y como $\operatorname {im} (\phi )\subseteq V^{}$ finalmente deducimos que $\operatorname {im} (\phi )=\;V^{*}$ , por lo que $\phi$ es epiyectiva. Tenemos que $\phi$ es lineal, inyectiva y epiyectiva luego es un isomorfismo, que es lo que queríamos demostrar.