Espacio dual |
En
Dado cualquier
para todos φ, ψ en V*, a en F y x en V. En lenguaje del
Si la
Específicamente, si se interpreta Rn como espacio de columnas de n
Si V es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha ej no produce una base para V* y la dimensión de V* es mayor que la de V. Considérese por ejemplo el espacio R (ω), cuyos elementos son las secuencias de números reales que tienen solo una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es Rω, el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia (an) se aplica a un elemento (xn) de R(ω) para dar Σn xnan.
Si es una
para cada en W*, la asignación genera un
Como vimos arriba, si V es finito-dimensional, entonces V es isomorfo a V*, solamente que el isomorfismo no es natural y depende de la base de V con que comenzamos. De hecho, cualquier isomorfismo Φ de V a V* define un producto bilineal no degenerado único en V por
y cada producto bilineal no degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.
A partir del espacio dual , definimos el espacio bidual como el conjunto de todas las
Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea su espacio dual y su espacio bidual. Existe una
aplicación canónica que transforma cada vector en una
donde es una forma lineal del espacio dual. Se verifica que es lineal e
Para demostrar el teorema, necesitamos un lema previo:
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Demostración del lema |
El enunciado a demostrar es equivalente al siguiente enunciado:
Dado tal que , existe tal que . Tomamos el Ahora tomamos el Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que podemos construir una base de con la
y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir: , definimos . Luego es una composición de aplicaciones lineales, por lo tanto debe de ser también una aplicación lineal. Finalmente, hemos encontrado la aplicación lineal que verifica el enunciado a demostrar: |
Demostración del teorema de reflexividad |
Veamos que es una forma lineal de , para ello basta ver que verifica las propiedades de una
luego es lineal. A continuación veamos que es también lineal. Sean , veamos que . Esta igualdad es equivalente a Desarrollando el primer miembro: y desarrollando el segundo miembro: obtenemos cosas idénticas, por lo que hemos demostrado que la aplicación es lineal. Veamos ahora que es Sean , veamos que . Como , por el lema anterior, existe tal que . Ahora por la definición de tenemos lo siguiente:
y como sabemos que es cierto, deducimos que por lo que hemos demostrado que es inyectiva. Por último veamos que si es finito-generado entonces es un isomorfismo. Como es finito-generado, . También sabemos que luego también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de . Como es lineal e inyectiva podemos deducir lo siguiente: , por ser una aplicación lineal. , por ser inyectiva. De las igualdades anteriores deducimos que y como finalmente deducimos que , por lo que es Tenemos que es lineal, inyectiva y epiyectiva luego es un isomorfismo, que es lo que queríamos demostrar. |