Espacio dual

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En matemáticas, la existencia de un espacio vectorial 'dual' refleja de una manera abstracta la relación entre los vectores fila (1×n) y los vectores columna (n×1) de una matriz. La construcción puede darse también para los espacios infinito-dimensionales y da lugar a modos importantes de ver las medidas, las distribuciones y el espacio de Hilbert. El uso del espacio dual es así, en una cierta manera, recurso del análisis funcional. Es también inherente a la transformación de Fourier.

El espacio dual algebraico

Dado cualquier espacio vectorial V sobre un cierto cuerpo F, definimos el espacio dual V* como el conjunto de todas las funcionales lineales en F, es decir, transformaciones lineales en V a valores escalares (en este contexto, un "escalar" es un miembro del cuerpo-base F). El propio V* se convierte en un espacio vectorial sobre F bajo las definiciones siguientes ('punto a punto') de la adición y de la multiplicación escalar

${\begin{cases}(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\\(a\phi )(x)=a\phi (x)\end{cases}}$

para todos φ, ψ en V*, a en F y x en V. En lenguaje del cálculo tensorial, los elementos de V a veces se llaman vectores contravariantes, y los elementos de V* vectores covariantes (y a campos de estos uno-formas).

Ejemplos

Si la dimensión de V es finita, entonces V* tiene la misma dimensión que V; si { e₁,..., e _n} es una base para V, entonces la base dual asociada { e¹,...,e ⁿ} de V* viene dada por:

e^{i}(e_{j})=\left\\right.

Específicamente, si se interpreta Rⁿ como espacio de columnas de n números reales, su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de filas de n números. Tal fila actúa en Rⁿ como funcional lineal por la multiplicación ordinaria de matrices. Si V consiste en el espacio de los vectores geométricos (flechas) en el plano, entonces los elementos del dual V* se pueden intuitivamente representar como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para dar un número de la manera siguiente: se cuenta cuántas de las líneas cruzan el vector.

Si V es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha e^j no produce una base para V* y la dimensión de V* es mayor que la de V. Considérese por ejemplo el espacio R ^(ω), cuyos elementos son las secuencias de números reales que tienen solo una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es R^ω, el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia (a_n) se aplica a un elemento (x_n) de R^(ω) para dar Σ_n x_na_n.

Transpuesta de una transformación lineal

Si $f:V\to W$ es una función lineal, se puede definir su transpuesta $f^{t}:W^{*}\to V^{*}$ por

f^{t}(\phi )=\phi \circ f\,

para cada $\phi$ en W*, la asignación $f\mapsto f^{t}$ genera un homomorfismo inyectivo entre el espacio de operadores lineales de V a W y el espacio de operadores lineales de W* a V*; este homomorfismo es un isomorfismo ssi W es finito-dimensional o V es trivial. Si la función lineal $f$ es representada por la matriz $A$ con respecto a dos bases de $V$ y $W$ , entonces $f^{t}$ es representada por la matriz transpuesta $A^{t}$ con respecto a las bases duales de $W^{*}$ y de $V^{*}$ . Si $g:W\to X$ es otra función lineal, se tiene $(g\circ f)^{t}=f^{t}\circ g^{t}$ . En el lenguaje de la teoría de las categorías, tomar el dual de los espacios vectoriales y la transpuesta de funciones lineales es por lo tanto un funtor contravariante de la categoría de los espacios vectoriales sobre F a sí misma.

Los productos bilineales y los espacios duales

Como vimos arriba, si V es finito-dimensional, entonces V es isomorfo a V*, solamente que el isomorfismo no es natural y depende de la base de V con que comenzamos. De hecho, cualquier isomorfismo Φ de V a V* define un producto bilineal no degenerado único en V por

$\langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,$

y cada producto bilineal no degenerado en un espacio finito-dimensional da lugar inversamente a un isomorfismo de V a V*.

Espacio bidual (doble-dual) y teorema de reflexividad

A partir del espacio dual $V^{*}$ , definimos el espacio bidual $V^{**}$ como el conjunto de todas las aplicaciones lineales de $V^{*}$ en $F$ , donde $F$ es el cuerpo sobre el que se define el espacio vectorial $V$ . En notación matemática lo expresamos de la siguiente manera: $V^{**}=\hom _{F}(V^{*},F)$ donde Hom hace referencia a los homomorfismos sobre $F$ (aplicaciones lineales). Un importante resultado del espacio bidual es el siguiente:

Teorema de reflexividad

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $F$ . Sea $V^{*}$ su espacio dual y $V^{**}$ su espacio bidual. Existe una aplicación canónica $\phi :V\rightarrow V^{**}$ que transforma cada vector $v\in V$ en una forma lineal $\phi (v)\in V^{**}$ perteneciente al espacio bidual. Cada forma lineal $\phi (v)$ se define de la siguiente manera:

${\begin{array}{cccl}\phi (v):&V^{*}&\longrightarrow &F\\&\omega &\longmapsto &(\phi (v))(\omega ):=\omega (v)\end{array}}$

donde $\omega \in V^{*}$ es una forma lineal del espacio dual. Se verifica que $\phi :V\rightarrow V^{**}$ es lineal e inyectiva. Además, si el espacio vectorial $V$ es finito-generado,^[1] se verifica que $\phi$ es un isomorfismo.

Para demostrar el teorema, necesitamos un lema previo:

Lema

Dados dos vectores $v,v'\in V$ tales que $v\neq v'$ , existe al menos una forma lineal ${\overline {\omega }}\in V^{*}$ tal que ${\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')$

Demostración del lema
El enunciado a demostrar es equivalente al siguiente enunciado: Dado $v\in V$ tal que $v\neq 0$ , existe $\omega \in V^{*}$ tal que $\omega (e)\neq 0$ . Tomamos el subespacio vectorial generado por v, $\langle v\rangle$ , y sea ${\overline {V}}$ el subespacio suplementario del anterior. Como los anteriores subespacios son suplementarios, tenemos lo siguiente: $\langle v\rangle \oplus \;{\overline {V}}=\;V$ y deducimos que $\dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V+\dim _{F}(\langle v\rangle )\longrightarrow \dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-1$ . Ahora tomamos el paso al cociente y obtenemos $V/{\overline {V}}$ que es de dimensión 1, como podemos comprobar a continuación: $\dim _{F}V/{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-\dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-(\dim _{F}V-1)=\;\dim _{F}V-\dim _{F}V+1=\;1$ Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que $v\neq 0$ podemos construir una base de $V/{\overline {V}}$ con la clase de equivalencia de $v$ . Tenemos que $V/{\overline {V}}=\langle [v]\rangle$ , luego los elementos $V/{\overline {V}}$ son de la forma $\lambda [v],\;\;\lambda \in F$ . Definimos la siguiente aplicación lineal: ${\begin{array}{cccl}\omega ':&V/{\overline {V}}&\longrightarrow &F\\&\lambda [v]&\longmapsto &\lambda \end{array}}$ y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir: ${\begin{array}{ccccl}V&{\overset {\Pi }{\longrightarrow }}&V/{\overline {V}}&{\overset {\omega '}{\longrightarrow }}&F\\v&\longmapsto &[v]\\&&\lambda [v]&\longmapsto &\lambda \end{array}}$ , definimos $\omega =\omega '\circ \;\Pi$ . Luego $\omega$ es una composición de aplicaciones lineales, por lo tanto $\omega$ debe de ser también una aplicación lineal. Finalmente, hemos encontrado la aplicación lineal $\omega$ que verifica el enunciado a demostrar: $\omega (v)=\;\omega '(\Pi (v))=\;\omega '(\lambda [v])=\;\lambda \quad \mathrm {Q.E.D.}$

Demostración del teorema de reflexividad
Veamos que $\phi (e)\in V^{}$ es una forma lineal de $V^{}$ , para ello basta ver que verifica las propiedades de una aplicación lineal. Sean $\omega _{1},\omega _{2}\in V^{},\lambda _{1},\lambda _{2}\in F$ , veamos que: $(\phi (v))(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})\;{\overset {?}{=}}\;\lambda _{1}(\phi (v))(\omega _{1})+\lambda _{2}(\phi (v))(\omega _{2})$ $(\phi (v))(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})=(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})(v)=\lambda _{1}\omega _{1}(v)+\lambda _{2}\omega _{2}(v)=\lambda _{1}(\phi (v))(\omega _{1})+\lambda _{2}(\phi (v))(\omega _{2})\quad \mathrm {Q.E.D.}$ luego es lineal. A continuación veamos que $\phi :V\rightarrow V^{}$ es también lineal. Sean $v_{1},v_{2}\in V,\;\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in F$ , veamos que $\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2})\;{\overset {?}{=}}\;\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2})$ . Esta igualdad es equivalente a $(\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}))(\omega )\;{\overset {?}{=}}\;(\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2}))(\omega ),\quad \forall \omega \in V^{}$ Desarrollando el primer miembro: $(\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}))(\omega )=\omega (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2})=\lambda _{1}\omega (v_{1})+\lambda _{2}\omega (v_{2})$ y desarrollando el segundo miembro: $(\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2}))(\omega )=\lambda _{1}(\phi (v_{1}))(\omega )+\lambda _{2}(\phi (v_{2}))(\omega )=\lambda _{1}\omega (v_{1})+\lambda _{2}\omega (v_{2})$ obtenemos cosas idénticas, por lo que hemos demostrado que la aplicación $\phi$ es lineal. Veamos ahora que $\phi :V\rightarrow V^{*}$ es inyectiva. Sean $v,v'\in V,\;\;v\neq v'$ , veamos que $\phi (v)\neq \phi (v')$ . Como $v\neq v'$ , por el lema anterior, existe ${\overline {\omega }}\in V^{}$ tal que ${\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')$ . Ahora por la definición de $\phi$ tenemos lo siguiente: ${\begin{cases}(\phi (v))({\overline {\omega }})=\;{\overline {\omega }}(v)\\(\phi (v'))({\overline {\omega }})=\;{\overline {\omega }}(v')\end{cases}}$ y como sabemos que ${\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')$ es cierto, deducimos que $(\phi (v))({\overline {\omega }})\neq (\phi (v'))({\overline {\omega }})$ por lo que hemos demostrado que $\phi$ es inyectiva. Por último veamos que si $V$ es finito-generado entonces $\phi$ es un isomorfismo. Como $V$ es finito-generado, $\dim _{F}V=n,\;\;n\in \mathbb {Z} ^{+}$ . También sabemos que $\dim _{F}V=\;\dim _{F}V^{}=\;\dim _{F}V^{}$ luego $V^{}$ también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de $V$ . Como $\phi$ es lineal e inyectiva podemos deducir lo siguiente: $\dim _{F}V=\;\dim _{F}\ker(\phi )+\dim _{F}Im(\phi )$ , por ser $\phi$ una aplicación lineal. $\ker(\phi )=\;0\longrightarrow \dim _{F}\ker(\phi )=\;0$ , por ser $\phi$ inyectiva. De las igualdades anteriores deducimos que $\dim _{F}V=\;\dim _{F}V^{}=\;\dim _{F}\operatorname {im} (\phi )$ y como $\operatorname {im} (\phi )\subseteq V^{}$ finalmente deducimos que $\operatorname {im} (\phi )=\;V^{*}$ , por lo que $\phi$ es epiyectiva. Tenemos que $\phi$ es lineal, inyectiva y epiyectiva luego es un isomorfismo, que es lo que queríamos demostrar.