Espacio de Hilbert equipado

En matemáticas, un espacio de Hilbert equipado (EHE) es una generalización de los espacios de Hilbert que permite ligar la teoría de distribuciones y los aspectos cuadrado-integrables del análisis funcional. Tales espacios fueron introducidos para estudiar la teoría espectral en sentido amplio y tienen amplia aplicación en mecánica cuántica.

Motivación

Una función como

que es claramente un vector propio del operador diferencial (que en mecánica cuántica se usa como operador cantidad de movimiento):

en la recta real , no es de cuadrado integrable para la medida de Borel usual en . Claramente la función exponencial compleja pertenece al espacio vectorial complejo (que no es un espacio de Hilbert) pero no pertenece al espacio de Hilbert (asociado a la medida de Lebesgue-Borel).

Para poder definir propiedades de ortogonalidad a la función exponencial compleja del ejemplo anterior, se requiere un marco que exceda los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert. Esto fue provisto por el aparato de distribuciones de Schwartz, y la teoría generalizada de la función propia fue desarrollada en los años 1950.

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