Espacio de Baire

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Baire es un espacio topológico que, hablando intuitivamente es muy grande y tiene suficientes puntos para un cierto proceso límite. Fue nombrado así en honor a René-Louis Baire quien introdujo el concepto.

En un espacio topológico se puede pensar en conjuntos cerrados con interior vacío como puntos en el espacio. Ignorando los espacios con puntos aislados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el sentido que no puede ser construido como una unión numerable de estos puntos. Un ejemplo concreto es un plano bidimensional con una colección enumerable de líneas. Sin importar que líneas escojamos, no podemos cubrir el espacio completamente con las líneas.

El ser un espacio de Baire es una propiedad topológica y como tal se preserva por homeomorfismos.

Definición

Un espacio topológico es llamado un espacio de Baire si la unión numerable de cualquier colección de conjuntos cerrados con interior vacío tiene un interior vacío.

Las siguientes son caracterizaciones alternas:

  • Toda intersección de conjuntos abiertos densos es densa.
  • El interior de cada unión de un número enumerable de conjuntos esparcidos es vacía.
  • Siempre que la unión de un número enumerable de conjuntos cerrados de X tiene un punto interior, uno de los subconjuntos cerrados debe tener un punto interior.

Definición histórica

En su definición original, Baire definió una noción de categoría (sin relación con la teoría de las categorías) como sigue:

Un subconjunto de un espacio topológico X es llamado

  • denso en ninguna parte en X si el interior de su clausura es vacío
  • de primera categoría o deficiente en X si es la unión de un número enumerable de subconjuntos esparcidos
  • de segunda categoría en X cuando no es de primera categoría

La definición del espacio de Baire puede establecerse ahora como sigue:

Un espacio topológico X es llamado un espacio de Baire si todo conjunto abierto no vacío es de segunda categoría en X.

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