Espacio afín

No hay puntos distinguidos por definición

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Nota: las parejas de elementos de , esto es los elementos de son llamados « bipuntos»[ cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Dado un conjunto no vacío diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial si se tiene la siguiente aplicación:[1]

EspacioAfín1.svg
Visualización del orden de los puntos para o como origen y destino de una traslación.

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación es biyectiva, es decir:
EspacioAfín1b.svg
2) Se tiene la relación de Charles, es decir:
EspacioAfín1c.svg

Los elementos de se llaman puntos.

Se designa al vector por la notación , así la propiedad 2 se escribe como:

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementales

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados y puntos cualesquiera en un espacio afín .

Tenemos:

VectorNulo.svg

.

entonces como es biyectiva, se tiene que .

.

SentidoInverso.svg

(regla del paralelogramo).
ReglaParalelogramo.svg

Directo a partir de

(relación de Chasles generalizada)
Inductivamente se aplica que
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