Endomorfismo de Frobenius

En álgebra conmutativa y teoría de cuerpos, que son ramas de las matemáticas, el endomorfismo de Frobenius (llamado así en honor de Ferdinand Georg Frobenius) es un endomorfismo de anillos de característica un número primo. En ciertos contextos es un automorfismo, pero este hecho no es cierto en general.

Definición

Sea R un anillo conmutativo de característica un número primo p (la característica de un dominio de integridad R es un siempre un número primo). El endomorfismo de Frobenius F se define como

para todo r de R. Se puede ver como esta aplicación respeta la multiplicación de elementos de R:

además es claro que F(1)=1. Usando el teorema del binomio y el hecho de que p es primo, se puede ver que los coeficientes de todos los términos de la expansión de rp+sp excepto rp y sp son divisibles por p, la característica de R, por lo que son iguales a cero, por lo tanto


Esto demuestra que F es un homomorfismo de anillos.

Si φ : RS es un homomorfismo de anillos de característica p, entonces

Si FR y FS son los endomorfismos de Frobenius de R y S respectivamente, entonces podemos escribir esto como:

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del funtor identidad en la categoría de los anillos de característica p en sí misma.

En general, F no es un automorfismo. Ya que este puede no ser inyectivo o sobreyectivo.

Si el anillo R no tiene elementos nilpotentes, entonces F es inyectivo: significa , que por definición implica que r es nilpotente de orden menor o igual a p. En particular, si R es un cuerpo entonces el automorfismo de Frobenius es inyectivo.

El endomorfismo de Frobenius tampoco es necesariamente sobreyectivo. Por ejemplo, sea K el cuerpo Fp(t), es decir, un cuerpo finito con p elementos junto con un solo elemento trascendente. Podemos afirmar que la imagen de F no contiene t. Demostraremos este hecho por contradicción: Suponemos que existe un elemento de K cuya imagen al aplicarle F es t. Dicho elemento es una función racional q(t)/r(t) cuya potencia p-esima (q(t)/r(t))p es igual a t. Esto implica que p(deg q - deg r) = 1, lo cual es imposible. Por lo que F no es exhaustiva (suprayectiva) y por tanto no es un automorfismo.

Un cuerpo K es llamado perfecto si su característica es 0 o si tiene característica positiva y el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo, esto equivale a decir que todo elemento de K es una raíz p-ésima de un elemento de K. Por ejemplo, todos los cuerpos finitos son perfectos.

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