Elemento algebraico

En matemáticas, más concretamente en álgebra abstracta y teoría de cuerpos, se dice que un elemento es algebraico sobre un cuerpo si es raíz de algún polinomio con coeficientes en dicho cuerpo. Los elementos algebraicos sobre el cuerpo de los números racionales reciben el nombre de números algebraicos.

Uno de las principales campos de estudio de la teoría de cuerpos es el de decidir si un polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene raices: es decir, si existe algún elemento tal que al evaluar el polinomio en él, este se anula (). Aun en el caso de que no sea así, siempre es posible encontrar un cuerpo mayor —una extensión de cuerpos— que contenga las soluciones de dicho polinomio. Se dice entonces que esos elementos son algebraicos sobre .

En general, puede ocurrir que una extensión de cuerpos contenga elementos que no son raíz de ningún polinomio con coeficientes en el cuerpo menor: a estos se les llama elementos trascendentes. Por el contrario, todo elemento de un cuerpo es algebraico sobre dicho cuerpo, ya que es raíz del polinomio .

Definición

Dado un cuerpo y una extensión , se dice que un elemento es algebraico sobre si y sólo si existe un polinomio , que pertenece al anillo de polinomios con coeficientes en , tal que . En caso contrario se dice que es trascendente.

Construcción

Sean dos cuerpos y de forma que es extensión de . Sea . Si , entonces es raíz del polinomio , que es irreducible en (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios). Si , entonces realizamos la siguiente construcción:

  • Construimos el conjunto . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de , es subcuerpo de , y de hecho es la menor extensión de que contiene a . Se le denomina extensión generada por sobre .
  • Construimos la aplicación que a cada polinomio le hace corresponder su evaluación en , i.e., . Esta aplicación es de hecho un homomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina aplicación evaluación.

Ahora sólo pueden darse dos situaciones:

  1. ker. En este caso se dice que es elemento trascendente sobre .
  2. . En este caso se dice que es elemento algebraico sobre .
Demostración

Como es dominio de ideales principales y el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo de partida del homomorfismo, entonces (esto es, el ideal generado por ) para algún .


Por el Primer Teorema de Isomorfía, , donde es el monomorfismo inclusión canónica ( i.e., cualquiera que sea el ), es el homomorfismo sobreyectivo aplicación proyección canónica (a cada le asigna su clase en el cociente ), y es un isomorfismo de anillos unitarios.


Como es sobreyectiva (ya que es isomorfismo), , que es subanillo de , quien a su vez es un cuerpo, luego es dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también es dominio íntegro.


Pero si es dominio íntegro será un ideal primo de . Sabemos que (por hipótesis), luego . Además, si fuera (también por hipótesis). Con lo cual tenemos garantizado que es un polinomio irreducible en (por ser dominio de ideales principales). Además, como es dominio de ideales principales, todo ideal primo es maximal, con lo cual es ideal maximal de , luego es un cuerpo. Así es un subcuerpo de . Como , si será , con lo que se demuestra que es subcuerpo de .


Por otro lado, , con lo que . Así, es un subcuerpo de que contiene a y a . Como es la menor extensión de que contiene a llegamos a la conclusión de que .


En esta segunda situación (, o equivalentemente, existe algún irreducible con ) se dice que es algebraico sobre .

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