Ecuaciones de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos ( electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).

Definición

La ecuación de Euler–Lagrange es una ecuación la cual se satisface con una función, , con argumento real , el cual es un punto estacionario del funcional

donde:

  • es la función para hallar:
tal que es diferenciable, , and ;
  • ; es la derivada de :
es el espacio tangente a en el punto .
  • es una función real con derivadas parciales con continuidad primera:
tiene fibrado tangente de definido por
 ;

Entonces, la ecuación de Euler–Lagrange está dada por:

donde y son las derivadas parciales de correspondientes a los argumentos segundo y tercero, respectivamente.

Si la dimensión de es mayor a 1, es un sistema de ecuaciones diferenciales, donde cada componente es:

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