Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea una función compleja , con . Se sabe que se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables y , de manera que . Si la función es derivable en un punto entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:


donde significa la derivada parcial de la función respecto a la variable , usualmente simbolizado . Análogamente para , y .

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

Demostración

Sea f una función de variable compleja:

que es derivable en un punto . Dado que es derivable, sabemos que:

donde este último es un límite doble en el plano debido a la equivalencia topológica existente entre y con la distancia euclídea. En tal caso, si existe el límite doble, sabemos que existen los límites direccionales y que coinciden. En particular, existirán los límites direccionales a lo largo de y de . Por consiguiente:

1)
2)

Si ahora igualamos 1 y 2, se deduce de manera inmediata el enunciado anterior, que se denomina ecuaciones de Cauchy-Riemann

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