Ecuación paramétrica

Puede describirse una hélice con la ecuación paramétrica . Al variar el valor de t, se obtienen los distintos puntos de la curva.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Descripción

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión .

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».

En algunos casos, ayuda a simplificar la derivación y la integración, en vez del caso y= f(x) o de z= F(x,y). Un caso paradigmático, la representación de la cicloide por ecuaciones paramétricas. [1]


Ejemplo

Sea la ecuación general de una recta, entonces caben las ecuaciones paramétricas:[2]

Otro ejemplo para aclarar

Cuando se toma un intervalo en el eje t, los puntos c(t) = (tt2) describen una parábola.

Dada la ecuación , una parametrización tendrá la forma

Una parametrización posible sería

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a y sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

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