Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución , [1] que se caracteriza por adoptar la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo abierto y α es un número real cualquiera[2] .

Método de resolución

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

( 1)

Definiendo:

o,equivalentemente, Z = y1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

( 2)

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

( 3)

Con . Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞.

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

( 4)

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

( 5)

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