Ecuación del cohete de Tsiolkovski

Relación de la masa del cohete y su velocidad final calculadas a partir de la ecuación del cohete.

La ecuación del cohete de Tsiolkovski considera el principio del cohete: un aparato que puede acelerarse a sí mismo ( empuje) expulsando parte de su masa a alta velocidad en el sentido opuesto a la aceleración obtenida debido a la conservación de la cantidad de movimiento.

La ecuación lleva el nombre del científico ruso Konstantín Tsiolkovski que, de forma independiente, la derivó y publicó en su obra de 1903.[1] La ecuación había sido derivada antes por el matemático británico William Moore en 1813.

Introducción

La expresión de Tsiolkovski expresa que para cualquier maniobra o viaje que incluya maniobras:

o equivalentemente:

donde:

  • es la masa total inicial.
  • la masa total final
  • la velocidad de los gases de salida con respecto al cohete ( impulso específico).

Por otro lado el término:

es la fracción de masa (la parte de la masa total inicial que se utiliza para propulsar el cohete).

( delta-v) es el resultado de integrar en el tiempo la aceleración producida por el uso del motor del cohete (no la aceleración debida a otras fuentes como rozamiento o gravedad). En el caso típico de aceleración en el sentido de la velocidad, es el incremento de la velocidad. En el caso de aceleración en el sentido contrario (desaceleración) es el decremento de la velocidad. La gravedad y el rozamiento cambian también la velocidad pero no forman parte de delta-v. Por ello, delta-v no es simplemente el cambio en la velocidad. Sin embargo, el empuje se aplica en corto tiempo, y durante ese periodo las otras fuentes de aceleración pueden ser despreciables, así que la delta-v de un momento determinado puede aproximarse al cambio de velocidad. La delta-v total puede ser simplemente añadida, aunque entre momentos de propulsión la magnitud y cantidad de velocidad cambia debido a la gravedad, como por ejemplo en una órbita elíptica.

La ecuación se obtiene integrando la ecuación de conservación del momento lineal.

para un cohete simple que emite masa a velocidad constante (la masa que se emite es ).

Aunque es una simplificación extrema, la ecuación del cohete muestra lo esencial de la física del vuelo del cohete en una única y corta ecuación. La magnitud delta-v es una de las cantidades más importantes en mecánica orbital que cuantifica lo difícil que es cambiar de una trayectoria a otra.

Claramente, para conseguir un delta-v elevada, debe ser elevada ( crece exponencialmente con delta-v), o debe ser pequeña, o debe ser elevada, o una combinación de estos.

En la práctica, esto se consigue con cohetes muy grandes (aumentando ), con varias etapas (decrementando ), y cohetes con combustibles con velocidades de escape muy elevadas. Los cohetes Saturno V utilizados en el Proyecto Apollo y los motores de iones usados en sondas no tripuladas de larga distancia son un buen ejemplo de esto.

La ecuación del cohete muestra un " decaimiento exponencial" de masa, pero no como función del tiempo, si no conforme a mientras se produce la delta-v. La delta-v que corresponde a la " vida media" es

Other Languages