Ecuación de tercer grado

Gráfica de una función cúbica.

Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de grado tres[1]​ que se puede poner bajo la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.[3]

Función cúbica

Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: [4]

  • Si , entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas.
  • Si , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
  • Si , entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas -no reales- conjugadas.
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