Ecuación de Poisson

En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Se debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson, que la publicó en 1812 como corrección de la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace para la energía potencial.[1]

La ecuación de Poisson se define como:

donde es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

Problema de Poisson

La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente el problema de Poisson es el problema de encontrar una función definida sobre el dominio que satisfaga:

( 1)

Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para :

Problemas de potencial

La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además la constante debe ser tomada 1/ para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como .

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