Ecuación de Korteweg-de Vries

La ecuación de Korteweg- de Vries o KdV es una ecuación en derivadas parciales que incluye efectos de no linealidad y dispersión a la vez. Físicamente es un modelo que describe, en una dimensión espacial, la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos. La propagación de ondas solitarias en la superficie del agua, en canales poco profundos, es un ejemplo de medio dispersivo en el que se pueden hallar este tipo de ondas. En la física-matemática representa el prototipo de un sistema no lineal completamente integrable. El método por medio del cual se mostró su integrabilidad se conoce como el método de dispersión inversa. La ecuación aparece escrita en la literatura de muchas formas y ésta es una de ellas:

donde , y denotan posición espacial, temporal y amplitud respectivamente. El primer término de la ecuación denota la evolución temporal de la perturbación o campo (se puede considerar como la elevación de la superficie del agua relativa a su posición de equilibrio), el segundo es considerado el término no lineal debido a la multiplicación entre y su primer derivada parcial con respecto al espacio, y el tercer término es el dispersivo debido a la tercera derivada parcial espacial de .

Propiedades matemáticas

Las siguientes son algunas de sus propiedades matemáticas más importantes. La transformación , , convierte a la ecuación en

,

luego entonces una solución para se puede obtener por medio de una simple transformación de una solución para . Otra propiedad es que la ecuación KdV posee soluciones de ondas estacionarias progresivas de la siguiente forma:

.

Si se substituye esta última expresión en la ecuación KdV, seguido de dos integraciones con respecto al parámetro , se obtiene lo siguiente

,

donde

,
,
,
.

Se asume que el polinomio en v, F(v)=0 posee tres raíces reales a fin de asegurar que existan soluciones reales y acotadas. Si posee tres raíces reales distintas, las soluciones son trenes uniformes de ondas llamados ondas cnoidales. Si tiene una doble raíz, por ejemplo, , entonces las soluciones de ondas cnoidales se reducen a ondas solitarias, mientras que si , la única posible solución es una constante .

Las soluciones de ondas cnoidales se pueden expresar en términos de las funciones elípticas de Jacobi como sigue:

,

donde

,

donde representa el módulo de la función elíptica. En el límite en donde , esta última expresión para se reduce a una solución de onda solitaria

,

Escribiendo y , obtenemos

.

Esto muestra que la rapidez de la onda, relativa a la velocidad constante , es proporcional a su amplitud. El ancho de la onda solitaria es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su amplitud y, por lo tanto, entre más amplitud posea será más angosta y viajará más rápido que las ondas de amplitud o altura más bajas.

El hecho de que la ecuación diferencial KdV sea de primer orden en el tiempo, significa que modela la propagación de energía mecánica en una dirección, en el sentido de que todas las ondas solitarias de la forma se propagarán en la dirección del incremento de la variable . En consecuencia, si dos ondas solitarias se propagan por el mismo medio y la que posee la mayor amplitud comienza su movimiento a la izquierda de la segunda, entonces eventualmente rebasará a esta última.

Other Languages