Dualidad de Pontryagin

En matemáticas, en particular en el análisis armónico y la teoría de grupos topológicos, la dualidad de Pontryagin explica las propiedades generales de la transformada de Fourier. Pone en un contexto unificado un número de observaciones sobre funciones en la recta real o en grupos abelianos finitos, vg.

  • Las funciones periódicas convenientemente regulares en la recta real tienen serie de Fourier y estas funciones se pueden recuperar de su serie de Fourier;
  • Las funciones complejo-valoradas convenientemente regulares en la recta real tienen transformación de Fourier que son también funciones en la recta real y, lo mismo que las funciones periódicas, estas funciones se pueden recuperar de su transformación de Fourier; y
  • las funciones complejo-valoradas en un grupo abeliano finito tienen transformación de Fourier discreta que son funciones en el grupo dual, que es grupo isomorfo (no canónicamente). Más aún cualquier función en un grupo finito se puede recuperar de su transformación de Fourier discreta.

La teoría, introducida por Lev Pontryagin y combinada con la medida de Haar introducida por John von Neumann, André Weil y otros depende de la teoría del grupo dual de un grupo abeliano localmente compacto.

La medida de Haar

Un grupo topológico es localmente compacto si y solamente si la identidad e del grupo tiene una vecindad compacta. Esto significa que hay un cierto conjunto abierto V que contiene a e que es relativamente compacto en la topología de G. Uno de los hechos más notables sobre un grupo localmente compacto G es que lleva una medida natural esencialmente única, la medida de Haar, que permite medir consistentemente el "tamaño" de subconjuntos suficientemente regulares de G. En este sentido, la medida de Haar es una función de "área" o de "volumen" generalizada definida en subconjuntos de G. Más precisamente, una medida derecha de Haar en un grupo localmente compacto G es una medida contablemente aditiva:

un conjunto de Borel

definido en los conjuntos de Borel de G que es invariante derecho en el sentido que

es finita para subconjuntos compactos A y distinta a cero y positiva para los conjuntos abiertos. A excepción de factores de escala positivos, las medidas de Haar son únicas. Observe que es imposible definir una medida invariante derecha contablemente aditiva en todos los subconjuntos ' ' de G si se asume el axioma de elección. Ver conjunto no medible. Observe que uno puede definir semejantemente la medida izquierda de Haar. Las medidas derechas e izquierdas de Haar están relacionadas por la función modular.

La medida de Haar permite definir la noción de Integral para funciones Borelianas tomando valores complejos definidas en el grupo. En particular, uno puede considerar varios Lp espacios asociados a la medida de Haar. Específicamente,

Ejemplos de grupos abelianos localmente son:

  • Rn, para n un número entero positivo, con la adición de vectores como operación del grupo.
  • Los números reales positivos con la multiplicación como operación. Este grupo se ve claramente es isomorfo a R. De hecho, la función exponencial implementa ese isomorfismo.
  • Cualquier grupo abeliano finito. Por el teorema de estructura para los grupos abelianos finitos, todos estos grupos son productos de grupos cíclicos.
  • Los números enteros Z bajo la adición.
  • El grupo de la circunferencia unitaria, denotado T (es decir, toro unidimensional). Este es el grupo de los números complejos de módulo 1. T es isomorfo como grupo topológico grupo cociente a R/Z.
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