Dualidad de Poincaré

En matemáticas, el teorema de la dualidad de Poincaré es un resultado básico en la estructura de los grupos de homología y de cohomología de variedades. Afirma que si M es una variedad orientada compacta n-dimensional, entonces el k-ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al (n-k)-ésimo grupo de homología de M, para todos los números enteros k. Establece, además, que si se utilizan la homología y la cohomología mod 2, entonces la asunción de orientabilidad puede ser omitida.

Historia

Una forma de la dualidad de Poincaré fue establecida primero, sin prueba, por Henri Poincaré en 1893. Fue establecida en términos de los números de Betti: El k-ésimo y (n-k)-ésimo números de Betti de una variedad orientable cerrada (es decir compacta y sin borde) son iguales. El concepto de cohomología estaba en aquella época a más de 40 años de ser clarificado. En su 'documento' de 1895, Análisis Situs, Poincaré intentó probar el teorema usando la teoría topológica de la intersección, que él había inventado. La crítica de su trabajo por Poul Heegaard lo condujo a captar que su prueba estaba seriamente incompleta. En los primeros dos complementos al Análisis Situs, Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales.

La dualidad de Poincaré no adquirió su forma moderna hasta el advenimiento de la cohomología en los años 30, cuando Eduard Cech y Hassler Whitney inventaron los productos cup & cap (capa y copa) y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.

Other Languages