Dual de Hodge

En matemáticas, el operador estrella de Hodge en el espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V, intercambiando los subespacios de k-vectores y el de n−k-vectores donde n = dim V, para 0 ≤ kn.

Definición

Informalmente se define "repartiéndose la forma volumen" ω, pensada como n vectores estándar de base multiplicados exteriormente de modo que:

Salvo signo, siempre que α es un producto exterior de algunos vectores estándar de base. Dada una medida sobre una variedad n dimensional expresable como una n-forma μ (no todas las medidas son de esta forma, por ejemplo, la "función" delta de Dirac), el dual de Hodge de la p-forma A se define como la contracción donde es el n-vector dual. Ver convención de signo.

Definición formal

Formalmente en una variedad de riemanniana o pseudoriemanniana de dimensión n debemos definir el dual de Hodge de una p-forma como la (n-p)-forma tal que:

con el producto escalar de las formas y

es la n-forma de volumen, siendo g el determinante del tensor métrico y ε = sgn(g). De aquí la relación:

en particular ε = 1 en una variedad de Riemann y ε=-1 en una variedad Lorentz-Minkowski .

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