Dominio de ideales principales

Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio de integridad en el que todo ideal es principal (está generado por un sólo elemento). Cualquier dominio de ideales principales es también un dominio de factorización única, pero no al revés; esto es, que un dominio entero sea DFU es una condición necesaria para sea un DIP.[1] En estos dominios existe siempre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, hecho que no ocurre en los dominios de integridad en general. El máximo común divisor de y en un DIP es el elemento del anillo tal que .

Ejemplos

Ejemplos de dominio de ideales principales:

  • El anillo de los números enteros.
  • El anillo de polinomios en una variable con coeficientes en el cuerpo , .
  • El anillo de los enteros gaussianos, .
  • El anillo de los enteros de Eisenstein, donde es una raíz cúbica de la unidad en .

Ejemplos de dominios íntegros que no son ideales principales:

  • El anillo de los polinomios en una variable con coeficientes enteros, . Basta considerar el ideal generado por y y observar que dicho ideal no puede ser generado por un solo elemento.
  • Si es un cuerpo y es su anillo de polinomios en dos variables, entonces no es dominio de ideales principales. Sea I el ideal generado por e es trivial ver que no puede generarse por un solo elemento. Además este dominio íntegro es un ejemplo de dominio de factorización única que no es dominio de ideales principales.
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