División por cero

Representación gráfica de la función y = 1/x. Cuando x «tiende» a 0+, y se «aproxima» a más infinito.

En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y álgebra, es considerada una «indefinición» o «indeterminación» que puede originar paradojas matemáticas.

En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.

El problema surgió en los años 650, cuando en India se comenzó a popularizar el uso del cero y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara I, quien escribió que , en el siglo VII.[1]

Indefinición de la división por cero y su diferencia con una indeterminación

En análisis matemático

Desde el punto de vista del análisis matemático, la indefinición de una división por cero puede solventarse mediante el concepto de límite. Supongamos que tenemos la siguiente expresión:

donde n es un número natural (distinto de cero). Entonces, para calcular el valor de f(0), se puede utilizar una aproximación del límite, por la derecha:

o por la izquierda:

Cuando el valor de x «tiende» a cero, n/x alcanza un valor inmensamente grande (positivo o negativo).

Se suele expresar diciendo: cuando x «tiende» a cero, n/x se «aproxima» a infinito:

Sin embargo, aunque aparentemente aceptable en la práctica, esta solución puede generar paradojas matemáticas, conocidas como diferentes infinitos. Algunos intentos en análisis matemático por definir formalmente la división por cero son las extensiones a la recta de los reales y la esfera de Riemann (usada en la proyección estereográfica).

La expresión es una indefinición. Sin embargo, cuando n = 0, obtenemos la expresión que es una indeterminación.[2]

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