División polinomial

En álgebra, la división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

Sean los polinomios y , donde no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de polinomios y tal que:

con el grado de menor que el grado de y el grado de es la diferencia entre el grado de de f y de g (para en el caso general ). La división sintética permite obtener el cociente y el resto dado un dividendo y un divisor . El problema se expresa como un problema de división no algebraico:[ cita requerida]

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben escribirse explícitamente, incluso si sus coeficientes son cero.

Condiciones de divisibilidad

Si A es un anillo, la división polinomial en A[X] no es siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X + 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y no pertenece a Z[X].

La única condición para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible. En el ejemplo de abajo, la división por X - 1 (1X - 1) no causa problemas porque el coeficiente dominante es 1, que inversible en Z.

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