División euclídea

En matemáticas, y más precisamente en la aritmética, la división euclidiana (o euclídea), también llamada algoritmo de la división, es un teorema que asegura que «el proceso habitual de división entre números enteros» puede llevarse a cabo y que se obtiene un cociente y un residuo únicos.

Un «algoritmo de división entera» es cualquier método efectivo que produce un cociente y un residuo. Existen numerosos métodos para efectuar estos cálculos, como por ejemplo la división larga, la factorización de enteros o la aritmética modular. El algoritmo de la división euclídea (para números enteros) se encuentra a la base de numerosos resultados de la aritmética (como por ejemplo el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros) y la teoría de números; en álgebra abstracta, está relacionado con el dominio euclídeo.

División euclídea de números naturales

Dados dos números naturales, el dividendo, m, y el divisor, d, que debe ser mayor que cero, llamamos cociente, q, al mayor de los números que multiplicado por el divisor es menor o igual que el dividendo.

Llamamos resto, r, a la diferencia entre el dividendo y el producto del cociente y el divisor.

El resto verifica la inecuación .

De la ecuación anterior, se deduce inmediatamente la siguiente:

Ejemplos

lo que significa que , con .

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