Distribución χ²

Distribución χ² (ji-cuadrado)
Chi-square distributionPDF.png
Función de densidad de probabilidad
Chi-square distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana aproximadamente
Moda if
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) for
Función característica
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En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) ( χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmente así: .

Propiedades

Función de densidad

Su función de densidad es:

donde es la función gamma.

Demostración
La función densidad de si Z es tipo N(0,1) viene dada por

Despejando y teniendo en cuenta contribuciones positivas y negativas de z

La función distribución de viene dada por su convolución

Aplicando transformada de Laplace

Aplicando antitransformada se obtiene f(x;k)

Función de distribución acumulada

Su función de distribución es

donde es la función gamma incompleta.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

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