Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

Introducción

Dado un espacio vectorial pueden considerarse conjuntos de vectores S de un espacio vectorial V y se puede examinar si poseen algunas de estas propiedades:

  1. Independencia lineal se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si para cualquier número finito de vectores se cumple que:

Nótese que en un espacio vectorial de dimensión finita n, el máximo número de vectores linealmente independientes es n.
  1. Conjunto generador, dado un subespacio lineal L se dice que un conjunto S es generador de L si:

Nótese que un conjunto finito de m elementos puede generar a lo sumo un subespacio L de dimensión a lo sumo m.

Un conjunto que sea linealmente independiente (1) y generador del espacio vectorial (2) se dice que es una base vectorial. Puede demostrarse que todas las bases de un espacio vectorial son conjuntos con el mismo número de elementos (es decir, conjuntos que tienen el mismo cardinal). Y el número común de elementos de una base cualquiera es precisamente la dimensión del espacio vectorial.

Nótese un hecho importante, si se cambia el cuerpo de los escalares, de a , entonces el mismo punto M será determinado por el complejo zM =x + yi, es decir por un solo parámetro.

La dimensión de P es 1 sobre y dos sobre :

Un plano real es por lo tanto una recta compleja. La apelación plano complejo para designar un plano real con escritura compleja de las coordenadas ( x + yi en vez de (x; y) ) es errónea, pero muy común.

El espacio ambiente es tridimensional y se requiere por lo tanto tres reales (x, y, z) para definir un punto. No se le puede considerar como un espacio sobre .

En la teoría de la relatividad, se añade una cuarta variable: el tiempo, y un punto (x, y, z, t) de este espacio cuadridimensional corresponde a un evento o acontecimiento (las coordenadas nos dicen donde y cuando ocurrió).

En algunas teorías actuales, los físicos trabajan en un modelo del espacio con once dimensiones, pero sobre el conjunto de los enteros, y no los real. Como el conjunto de los racionales no es un cuerpo[ cita requerida] sino un anillo, el espacio no es vectorial (se dice que es un módulo). Sin embargo, la definición de la dimensión es válida en tales espacios. En este ejemplo, la mayoría de las dimensiones son enrolladas sobre sí mismas, como una serpiente que se muerde la cola. Su curvatura es enorme, pues su radio es microscópico, menor que el de un núcleo. Los espacios vectoriales no tienen curvatura.

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