Desigualdad matemática

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En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

  • La notación a < b significa a es menor que b;
  • La notación a > b significa a es mayor que b

estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

  • La notación ab significa a es menor o igual que b;
  • La notación ab significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

  • La notación a b significa a es mucho menor que b;
  • La notación a b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

  • La notación ab significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Para tener en cuenta:

Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura esta del lado del elemento mayor.

Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad
  • Si a > b y b > c entonces a > c.
  • Si a < b y b < c entonces a < c.
  • Si a > b y b = c entonces a > c.
  • Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
  • Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
  • Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
  • Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
  • Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
  • Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
  • Para números reales arbitrarios a y b:
  • Si a < b entonces −a > −b.
  • Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
  • Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
  • Si a < b entonces 1/a > 1/b.
  • Si a > b entonces 1/a < 1/b.
  • Si a y b son de distinto signo:
  • Si a < b entonces 1/a < 1/b.
  • Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Función monótona

Al aplicar una función monótona creciente a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

Valor absoluto

Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:

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