Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal[3]

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy ( 1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky ( 1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz ( 1888).

Enunciado

Sean y números reales cualesquiera.

Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

Además la igualdad se verifica si y sólo si existe un número real tal que para cada

Demostración

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos:


para todo número real x, y es igualdad si, y sólo si, cada término de la suma es cero. Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

donde:

Si , hacemos para obtener , que es la desigualdad deseada. Si en esta desigualdad hacemos , la demostración es trivial.

Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma:


donde

son dos vectores n-dimensionales, es su producto escalar y es la norma de a.


La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.

La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

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