Descomposición de una aplicación lineal

Isomorfismo canónico

Definición y teorema

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, o más generalmente, dos módulos sobre un mismo anillo.
Sea f una aplicación lineal, N = Ker f su núcleo e I = Im f su imagen, o codominio.

Teorema: Existe un isomorfismo canónico φ:

donde = â = a + N se puede ver como la clase de a en E/N (a módulo N) o como el conjunto a + N = { a + n, n ∈ N} de los elementos de la forma a + n, con n ∈ N.

Prueba

1) Primero hay que verificar que φ está bien definida, porque se ha definido φ(â) escogiendo un elemento a (un representante) de la clase â, y mirando su imagen por f. Hay que establecer que esta imagen no depende de esta elección.
Sea entonces u∈â otro elemento de â. Las clases de a y u son idénticas: â = û, lo que se puede escribir también: a + N = u + N. Entonces u - a + N = N, lo que significa que u - a ∈ N (porque n∈ N, luego a - u + 0 también).
Luego existe n en el núcleo de f tal que u = a + n. entonces f(u) = f(a + n) = f(a) + f(n) = f(a) + 0 = f(a) por linealidad.

2) φ es sobreyectiva: Todo elemento de la imagen I es por definición de la forma f(a) que vale φ(â); luego pertenece también a Im φ.

3) φ es inyectiva: φ(â) = 0 significa que f(a) = 0, es decir que a∈N. entonces â = a + N = o + N = N = ô que es el elemento neutro de E/N.

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