Dependencia e independencia lineal

Vectores linealmente independientes en (en el espacio tridimensional).
Vectores linealmente dependientes en (en el plano).

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Definición

Dado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente independientes si existen números , donde la ecuación

se satisface únicamente cuando son todos cero. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

  1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
  2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.
  3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.
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