Demostraciones del pequeño teorema de Fermat

En este artículo se recogen unas cuantas demostraciones del pequeño teorema de Fermat, que establece:

Si a es un número natural y p un número primo, entonces .

Este teorema es un caso especial del teorema de Euler que generaliza este concepto mucho más.

Demostración original de Euler

Leonhard Euler dio en 1736 la primera demostración en un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio[1] y es la siguiente:

Se demuestra por inducción matemática sobre los números naturales.

Sea n = 1, sabemos que 1p -1 = 0 es divisible por p primo. Supongamos ahora que se aplica para 2 y es correcto, entonces tendremos que p|2p -2. Si se aplica a todos los números hasta n y se cumple la proposición, y se puede demostrar que para n + 1 también se cumple, entonces se cumplirá para todo n.

  • Partimos de que
  • Agrupando factores y reordenando la identidad:
  • Dado que el número resultante del sumatorio del miembro de la derecha es divisible por p, porque el coeficiente binomial es divisible por p para 0 < k < p y p primo, y np -n es divisible por p por hipótesis inductiva, tenemos que (n + 1)p -(n + 1) es divisible por p.
  • Repitiendo el proceso vemos que se cumple para todo n.
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