Demostración por casos

La demostración por casos es un método de demostración matemática en el cual la proposición a ser probada se divide en un número finito de casos, y cada caso es demostrado por separado.

También se la conoce como:

  • prueba exhaustiva
  • prueba por exhaución
  • prueba por exhausción o
  • método de fuerza bruta.

Una demostración por casos consta de dos etapas:

  • Una prueba de que los casos son exhaustivos; es decir, que cada instancia de la proposición a ser probada coincide con las condiciones de (al menos) uno de los casos.
  • Una demostración de cada uno de los casos.

Por el contrario, el método exhaustivo del matemático griego Eudoxo de Cnidos era una forma geométrica y esencialmente rigurosa de calcular límites matemáticos.

Ejemplo

Probar que todo número que es un cubo perfecto tiene que ser un múltiplo de 9, un múltiplo de 9 más 1 o un múltiplo de 9 menos 1.

Demostración

Todo cubo perfecto es el cubo de algún natural n. Este natural es o un múltiplo de 3, o uno más o uno menos que un múltiplo de 3. Entonces los siguientes casos son exhaustivos:

  • Caso 1: Si n es un múltiplo de 3 entonces el cubo de n es un múltiplo de 27, y entonces ciertamente un múltiplo de 9.
  • Caso 2: Si n es 1 más que un múltiplo de 3 entonces el cubo de n es uno más que un múltiplo de 9.
  • Caso 3: Si n es 1 menos que un múltiplo de 3 entonces el cubo de n es uno menos que un múltiplo de 9.

[Para completar la demostración, los enunciados de los casos 2 y 3 pueden ser probados mediante simple álgebra.]

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