Demostración inválida

En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área.

La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consiste en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y) para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es xx × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.

Ejemplos

Demostración de que 1 equivale a −1

Supongamos que estamos trabajando en el conjunto de los Números Complejos y comencemos con lo siguiente:

1=1 es igual a que los elementos son reflejantes

Ahora, los convertimos en fracciones

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos

Que equivale a

Pero ya que (ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo

Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos

Y ya que tenemos como resultado

Q.E.D.

Esta demostración no es válida porque la división en los números complejos tiene una definición específica

Por lo cual, la expresión que aparece en la demostración es en realidad, por definición

La cual es la relación matemática correcta. Por tanto, el error está en un paso anterior. En concreto, el error se produjo al aplicar la raíz cuadrada al numerador y denominador de las fracciones por separado. Al estar usando números complejos, las raíces tienen varias soluciones. En este caso, al ser raíces cuadradas, tienen dos soluciones, positiva y negativa. Al aplicar la raíz por separado al numerador y denominador estamos creando dos operaciones de raíz cuadrada más, pero sin embargo no estamos teniendo en cuenta todas las combinaciones de raíz positiva y negativa. La demostración está montada de tal manera que se descarte la combinación de signos correcta, y nos quedamos con la combinación de signos errónea. Por tanto, al final de la demostración, se llega a una conclusión (1 = -1) en la que los signos están invertidos.

Demostración de que 1 es menor que 0

Supongamos que

Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos

Dividir por ln x da como resultado

Q.E.D.

El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.

(Véase la demostración correcta en " Demostración matemática)".

Demostración de que 2 equivale a 1

  • Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠ 0,
    (x términos)
  • Multiplicando ambos lados por x,
    (x términos)
  • Derivando con respecto a x,
    (x términos)
  • Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es x, y por lo tanto,
  • Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues que sea un número no significa que x ≠ 0), se tiene

Q.E.D.

El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio continuo como los reales, no los enteros; para cada x entero se tiene una ecuación correcta, pero para derivar ambos lados hace falta una ecuación de funciones, no de enteros, y la función x + x +... + x "con x términos" no tiene sentido en general (¿cómo se pueden tener x términos?), con lo cual no es derivable.

Otra forma de ver el error es que se están derivando dos funciones distintas con derivada distinta pero que se intersecan en un punto. En este sentido se confirma que F(x) = G(x) pero se asume, erróneamente, que F'(x) = G'(x).

Demostración de que 4 equivale a 2

4 = 4

Restamos a ambos lados de la ecuación

4 - 4 = 4 - 4

En un lado factorizamos usando la "suma por su diferencia" y en el otro lado se factoriza por 2

(2 - 2) (2 + 2) = 2 (2 - 2)

Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación (2 - 2)

(2 + 2) = 2

Nos queda como resultado

4 = 2

Q.E.D.

La falacia se encuentra en el paso de la línea 3 a la 4, ya que implica una división por (2 - 2), que es cero. Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.

Demostración de que a equivale a b

Comenzamos con

a - b = c


Elevamos al cuadrado ambos lados

a² - 2ab + b² = c²

Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como

a² - 2ab + b² = ac - bc

Si lo reordenamos, obtenemos

a² - ab - ac = ab - b² - bc

Factorizamos ambos miembros

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Dividimos ambos miembros por (a - b -c)

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Al final

a = b

Q.E.D.

La falacia consiste en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, que invalida la demostración.

Demostración de que 0 equivale a 1

Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1

0 = 0 + 0 + 0 +...
  = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +...
  = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +... ( ley asociativa)
  = 1 + 0 + 0 + 0 +...
  = 1

Q.E.D.

El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. Esta última era, según Guido Ubaldus, la demostración de que Dios existe, ya que se había "creado" algo de la nada. Fuera de esto, si se pudiera aplicar la ley asociativa, entonces esto sería válido para todos los números, es decir, todos los números serían iguales a 0, y, por la transitividad de la igualdad, todos los números serían el mismo número.

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