Curva elíptica

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas de curvas elípticas sobre .

En matemáticas, las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Han sido utilizadas para probar el último teorema de Fermat y en factorización de enteros. Se emplean también en criptografía de curvas elípticas. Estas curvas no son elipses.

Las curvas elípticas son «regulares», es decir, no tienen «vértices» ni autointersecciones, y se puede definir una operación binaria para el conjunto de sus puntos de una manera geométrica natural, lo que hace de dicho conjunto un grupo abeliano.

Algunas de las curvas elípticas sobre el cuerpo de los números reales vienen dadas por las ecuaciones y por .

Generalidades

Definición general

Las curvas elípticas pueden definirse sobre cualquier cuerpo K; la definición formal de una curva elíptica es la de una curva algebraica proyectiva no singular sobre K de género 1. Si la característica K no es ni 2 ni 3, entonces toda curva elíptica sobre K puede escribirse en la forma:

donde p y q son elementos de K tales que el polinomio del miembro derecho no tenga ninguna raíz doble. Si la característica es 2 o 3 harán falta más términos.

Normalmente se define la curva como el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación anterior, y tales que x e y sean elementos de la cerradura algebraica de K. Los puntos de la curva cuyas coordenadas pertenezcan ambas a K se llaman puntos K-racionales.

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