Cuerpo de fracciones

En álgebra abstracta, se denomina cuerpo de fracciones de un dominio de integridad al mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio. Dicho cuerpo siempre existe y se denota por , (del inglés: quotient field) o .

El ejemplo más sencillo de un cuerpo de fracciones es el de los números racionales, que son el cuerpo de fracciones de los números enteros. El cuerpo de fracciones de cualquier otro dominio de integridad se construye de manera análoga a éste.

Construcción

Sea un anillo conmutativo , que a su vez sea un dominio de integridad, es decir, que carezca de divisores de cero. Denotaremos por al conjunto . El proceso de construcción del cuerpo de fracciones de es el siguiente:[1]

  • Formamos el producto cartesiano , compuesto por todos los pares ordenados , donde , y .
  • Definimos la relación definida por:
.
Esta es una relación de equivalencia.
Demostración
  • La relación es:
    • Reflexiva: por ser conmutativo
.
  • Simétrica: de nuevo por la conmutatividad en :
,
luego
  • Transitiva: Dados tales que y entonces: y , por lo cual
y por la propiedad cancelativa (dado que ):,
de donde
  • Denotamos por al conjunto cociente , y por a la clase de equivalencia del par ordenado .

Como se verá más adelante, a este conjunto se le puede dotar de estructura de cuerpo con las operaciones adecuadas. Además, el anillo es un subanillo de ,[2] ya que podemos identificar cada elemento con el elemento .[3] Otra propiedad interesante es que este cuerpo es, salvo isomorfismo, el menor cuerpo que contiene a . Es decir, si existe un cuerpo tal que , entonces .[4] En particular, si es un cuerpo entonces es isomorfo a su cuerpo de fracciones.[5]

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