Cuerpo (matemáticas)

En álgebra abstracta, un cuerpo (a veces llamado campo como traducción de inglés field) es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición,[1] además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la matemática: álgebra, análisis matemático, teoría de los números, puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

Definición

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y ·, llamadas adición y multiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:

K es cerrado para la adición y la multiplicación

Para todo a, b en K, a + b y a · b pertenecen a K (o más formalmente, + y · son operaciones matemáticas en K);

Asociatividad de la adición y la multiplicación

Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c.

Conmutatividad de la adición y la multiplicación

Para toda a, b en K, a + b = b + a y a · b = b · a.

Existencia de un elemento neutro para la adición y la multiplicación

Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a.
Existe un elemento 1 en K, diferente de 0, tal que para todo a en K, a · 1 = a.

Existencia de elemento opuesto y de inversos:

Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0.
Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a · a-1 = 1.

Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

Para toda a, b, c, en K, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0, lo que lo convierte también en un dominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K - { 0 }, ·) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuesto -a y el inverso a-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:

(a·b)-1 = a-1 · b-1

con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen

-a = (-1) · a

y más generalmente

- (a · b) = (-a) · b = a · (-b)

así como

a · 0 = 0,

todas reglas familiares de la aritmética elemental.

Definiciones alternativas

Sintéticamente, Un anillo P se llama cuerpo, si consta no sólo del cero y en él es posible la división en todos los casos( salvo la división por cero), determinándose esta unívocamente, esto es, si para cualesquiera elementos m y n de P, de los cuales n es diferente de cero, existe en P un elemento q, y sólo uno, que cumple la igualdad nq = m. El elemento q se denomina cociente de los elementos m y n y se denota q = m/n.[2]

  • Un cuerpo F es un dominio de integridad que contiene para cada elemento a ≠ 0 un «inverso» a-1 que verifica la igualdad:
a-1·a = 1.[3]
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