Cubo (aritmética)

y=x³, para valores enteros que satisfacen 1≤x≤25 en un sistema de coordenadas cartesianas.

En aritmética y álgebra, el cubo de un número n es la tercera potencia —el resultado de multiplicar por sí mismo tres veces:[1]

En geometría, es la ecuación para obtener el volumen de un cubo de lado a:

Propiedades

A diferencia del cuadrado de un número, no existe el número cubo más pequeño, debido a que se incluyen los números negativos. Por ejemplo, (−4) × (−4) × (−4) = −64. Para cualquier n, (−n)3 = −(n3).

A diferencia de los cuadrados perfectos, los cubos perfectos no tienen una pequeña cantidad de posibilidades excepto para los dos últimos dígitos. Excepto para los cubos divisibles por 5, donde únicamente 25 y 75 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier par de dígitos con los últimos dígitos impares puede ser un cubo perfecto. Con los cubos pares, hay una considerable restricción, solo para 00, i2, p4, i6 y p8 puede que los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde i significa cualquier dígito impar y p para dígitos pares). Algunos números cúbicos son también números cuadrados, por ejemplo 64 es un cuadrado (8 × 8) y al mismo tiempo un cubo (4 × 4 × 4); esto ocurre si y solo si es una sexta potencia perfecta. Cabe esa posibilidad si el expontente k es múltiplo de 6, para la duodécima, décima octava potencia, etc.

Un Cubo de Rubik de 3x3x3 compuesto de 27 (26) pequeños cubos.

Sin embargo, es fácil ver que la mayoría de los números no son cubos perfectos a causa de que todos los cubos perfectos deben tener una raíz digital 1, 8 o 9. De esta forma, la raíz digital de cualquier número queda determinada por el resto del número cuando es dividido entre 3:

  • Si el número es divisible entre 3, su cubo tiene como raíz digital al 9;
  • Si tiene como resto 1 cuando es dividido entre 3, su cubo tiene la raíz digital igual a 1;
  • Si tiene como resto 2 cuando es dividido entre 3, su cubo tiene como raíz digital 8.

Cada entero positivo puede ser escrito como la suma de nueve cubos o incluso menos, véase problema de Waring. Este límite superior de nueve cubos no puede ser reducido ya que, por ejemplo, 23 no puede ser escrito como la suma de menos de nueve cubos:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13

El número m es un cubo perfecto si y solo si pueden ordenarse m puntos en un cubo, por ejemplo 3 × 3 × 3 = 27. La suma de los primeros n cubos perfectos es un n-ésimo número triangular al cuadrado:

Por ejemplo, la suma de los primeros cinco números cubos perfectos, 13 + 23 + 33 + 43 + 53, es igual a la suma de los cinco primeros números triangulares 152 que es 225.

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