Cuaternión

Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que . Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicación: la Tabla de Cayley.

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

1, i, j, k, son entonces las "bases" de las componentes de un cuaternión.

Representaciones de los cuaterniones

Vectorial

Un cuaternión puede expresarse como el conjunto:

o equivalentemente:

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes , y el otro el de las "bases": . En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.

Matricial

Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión se puede representar:

  • Usando matrices complejas de 2x2:

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante . Cuyo subconjunto SU(2), los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a . Una propiedad interesante de esta representación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales.
  • Usando matrices reales de 4x4:

También en este caso el determinante de la matriz resulta igual a
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