Cuantización

En física, una cuantización es un procedimiento matemático para construir un modelo cuántico para un sistema físico a partir de su descripción clásica.

Definición formal

En concreto dada la descripción hamiltoniana de un sistema clásico mediante una variedad simpléctica se puede definir[1] formalmente el proceso de cuantización como la construcción de un espacio de Hilbert tal que al conjunto de magnitudes físicas u observables medibles en el sistema clásico se le asigna un conjunto de observables cuánticos u operadores autoadjuntos tales que:

  1. Los operadores de posición y sus momentos conjugados actúan irreduciblemente sobre .

Donde es la aplicación identidad sobre el espacio de Hilbert asignado al sistema, es el paréntesis de Poisson y es el conmutador de operadores.

Por el teorema de Stone-von Neumann la condición (5) implica que los grados de libertad de desplazamiento nos obligan a tomar y un operador es multiplicativo y otro derivativo. Así si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordenadas espaciales:


Si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordenadas de momento conjugado:


Sistemas cuantizables

Un sistema hamiltoniano clásico definido sobre una variedad simpléctica se llama cuantizable si existe un -fibrado principal y una 1-forma sobre , llamada variedad de cuantización, tal que:

  1. es invariante bajo la acción de

Un resultado recogido en Steenrod 1951 implica que una variedad es cuantizable si la segunda clase de cohomología satisface cierta propiedad:

es cuantizable si y sólo si , es decir la integral de la forma simpléctica integrada sobre una variedad compacta de dimensión 2 es un número entero multiplicado por la constante de Planck. Es más en aquellos casos en que existe más de un modo de cuantizar un sistema clásico, las diferentes cuantizaciones pueden clasificarse de acuerdo con la forma de
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