Cuantil

Los cuantiles 0,25; 0,50 y 0,75 de la distribución normal. Más conocidos como los cuartiles Q_1, Q_2 y Q_3, dividen la distribución en cuatro bloques, cada uno de los cuales contiene el 25% de los datos.

Los cuantiles son puntos tomados a intervalos regulares de la función de distribución de una variable aleatoria.

El término cuantil fue usado por primera vez por Kendall en 1940. El cuantil de orden p de una distribución (con 0 < p < 1) es el valor de la variable que marca un corte de modo que una proporción p de valores de la población es menor o igual que . Por ejemplo, el cuantil de orden 0,36 dejaría un 36% de valores por debajo y el cuantil de orden 0,50 se corresponde con la mediana de la distribución.

Los cuantiles suelen usarse por grupos que dividen la distribución en partes iguales; entendidas estas como intervalos que comprenden la misma proporción de valores. Los más usados son:

  • Los cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles 0,25; 0,50 y 0,75);
  • Los quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes (corresponden a los cuantiles 0,20; 0,40; 0,60 y 0,80);
  • Los deciles, que dividen a la distribución en diez partes;
  • Los percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

En el cálculo de cuantiles con distribuciones de variable continua (por ejemplo, con datos agrupados) puede conseguirse fácilmente que las partes en que se divide la distribución sean exactamente iguales. Sin embargo, en las distribuciones de variable discreta (como el caso de datos aislados) debemos conformarnos con que estas partes sean aproximadamente iguales. Por desgracia, no hay consenso sobre cómo realizar esta aproximación, existiendo en la literatura científica nueve métodos diferentes, que conducen a resultados diferentes. Por ello, al calcular cualquier cuantil de datos no agrupados por medio de calculadora, software o manualmente, es básico el saber e indicar el método utilizado.

La función que a cada p le asigna el punto de corte , es decir, el valor del cuantil de orden p, se denomina función cuantil.

Cálculo de cuantiles de datos agrupados en intervalos

Calcularemos el cuantil de orden 0,30 de la edad de la población de una aldea resumida en la tabla:

Edad de la población habitantes frecuencia acumulada
0-20 9 9
20-40 18 27
40-60 26 53
60-80 7 60
80-100 4 64

Nuestro primer paso será hallar el intervalo en que se encuentra nuestro cuantil: De un total de 64 datos, el cuantil 0,30 ocupará la posición np=64×0,3=19,2. Observamos en la columna de frecuencias acumuladas que este valor, por estar comprendido entre 9 y 27, corresponde al intervalo 20-40.

Dentro de este intervalo, seleccionaremos el valor de nuestro cuantil por simple interpolación lineal. Para ello, siguiendo las indicaciones del gráfico, sólo será necesario hacer una regla de tres.

Observamos en la figura dos triángulos semejantes: OAB y OCD. El cuantil buscado corresponderá a la abscisa 20+x. Razonando por semejanza, OB=x es a AB=10,2, como OD=20 es a CD=18. Despejando obtenemos x=11,33, luego el cuantil buscado es a 20+x=31,33.
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