Cuadrado alfamágico

Los cuadrados alfamágicos son un tipo de cuadrados mágicos en los que los números se escriben por su nombre (con caracteres alfabéticos) y la cantidad de letras de cada valor a su vez compone también un cuadrado mágico. Se considera que fueron inventados en 1986 por Lee Sallows, un ingeniero británico aficionado a las matemáticas recreativas. Por razones evidentes, los cuadrados alfamágicos dependen de la lengua en la que son construidos y su normativa ortográfica vigente.

En español un ejemplo de cuadrado alfamágico de orden 3 sería:

ciento veintiuno ciento cincuenta y cinco noventa y tres
noventa y cinco ciento veintitrés ciento cincuenta y uno
ciento cincuenta y tres noventa y uno ciento veinticinco

Si se convierten los nombres en números de cifras arábigas se comprueba que es un cuadrado mágico con constante mágica = 369:

121 155 93
95 123 151
153 91 125

Y si se cuenta la cantidad de letras de cada número en el cuadrado alfamágico se obtiene un cuadrado mágico con constante mágica = 48:

15 21 12
13 16 19
20 11 17

Método de construcción

La construcción de cuadrados alfamágicos de orden 3 se basa en la obtención de ternas de números que estén en progresión aritmética tanto en su forma escrita ( caracteres alfabéticos) como en su forma numérica ( cifras arábigas).

Logrado este punto basta distribuir dichas ternas en un cuadrado mágico elemental de 3x3 sustituyendo en orden los valores 1, 2 y 3 por los números de la primera terna; los valores 4, 5 y 6 por los de la segunda terna y los valores 7, 8 y 9 por los de la tercera terna.

En el ejemplo de cuadrado alfamágico anterior las ternas son: 91, 93, 95; 121, 123, 125; 151, 153, 155. Los números de cada terna se incrementan en 2 unidades de forma regular. Del mismo modo, el número de letras crece también de forma regular en cada terna, aumentando en 1 unidad cada vez, siendo respectivamente: 11, 12, 13; 15, 16, 17; y 19, 20, 21.

Al proceder con la sustitución de valores en un cuadrado mágico elemental de 3x3 (valores entre corchetes) se obtiene el cuadrado alfamágico:

121 [4] 155 [9] 93 [2]
95 [3] 123 [5] 151 [7]
153 [8] 91 [1] 125 [6]

De forma genérica se puede construir un cuadrado alfamágico en español aprovechando que el número 1.000 (mil) tiene 3 letras y 2.000 (dos mil) tiene 6, y por tanto están en progresión aritmética tanto en cifras arábigas (sumando de mil en mil) como en número de letras (sumando de 3 en 3).

Tomando una terna cualquiera de números inferiores a mil que esté en progresión aritmética en la suma numérica y en la suma de su número de letras (supuesta x, y, z) se puede construir directamente un cuadrado alfamágico sustituyendo en el cuadrado siguiente:

1.000 + x 2.000 + z y
z 1.000 + y 2.000 + x
2.000 + y x 1.000 + z

Utilizando cualquiera de las ternas del primer ejemplo se podría construir un nuevo cuadrado alfamágico. Tomando la primera terna:

  • x = 91; teniendo “noventa y uno” 11 letras.
  • y = 93; teniendo “noventa y tres” 12 letras.
  • z = 95; teniendo “noventa y cinco” 13 letras.

Se obtiene un cuadrado mágico con constante mágica = 3.279:

1.000 + 91 2.000 + 95 93
95 1.000 + 93 2.000 + 91
2.000 + 93 91 1.000 + 95

Escritos sus números con caracteres alfabéticos se obtiene el cuadrado alfamágico:

mil noventa y uno dos mil noventa y cinco noventa y tres
noventa y cinco mil noventa y tres dos mil noventa y uno
dos mil noventa y tres noventa y uno mil noventa y cinco

Cuyo cuadrado mágico resultante de sumar la cantidad de letras de cada valor tiene una constante mágica = 45:

14 19 12
13 15 17
18 11 16
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