Criterio de Eisenstein

En matemáticas, el criterio de Eisenstein proporciona una condición suficiente para que un polinomio sea irreducible sobre el conjunto de los números racionales. Y su nombre se debe al matemático alemán Ferdinand Eisenstein.

Si tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

y un número primo tal que

  • divide a todo para in
  • no divide a
  • no divide a

entonces es irreducible sobre .

Ejemplos

Considérese .

Probaremos los siguientes primos .

  • p = 2
2 no divide a 15, entonces probaremos
  • p = 3
3 no divide a 10, entonces probaremos
  • p = 5
5 divide a 15, el coeficiente de x, y a 10, el término constante. Además, 5 no divide a 3, el primer coeficiente; y 25 = 52 no divide a 10. Concluiremos, por lo tanto, que g(x) es irreducible.

En algunos casos, la elección del primo puede ser poco clara, pero puede llegar a revelarse por un cambio de variable y = x + a. Por ejemplo, consideremos h(x) = x2 + x + 2. Es aparentemente difícil, ya que ningún primo divide a 1, el coeficiente de x. Pero si cambiamos h(x) en h(x + 3) = x2 + 7x + 14 veremos inmediatamente que el primo 7 divide al coeficiente de x y al término constante, y que 49 no divide a 14. Así, con el cambio introducido, logramos que el polinomio satisficiera el criterio de Eisenstein.

Otro caso notable es el del polinomio ciclotómico para un primo p. Esto es:

(xp − 1)/(x − 1) = xp − 1 + xp − 2 + ... + x + 1.

Aquí, el polinomio satisface el criterio de Eisenstein, en una nueva variable y, después de establecer x = y + 1. El coeficiente constante será entonces p; los otros coeficientes son divisibles por p por las propiedades de los coeficientes binomiales C(p,k) que son p! dividido por algo que no involucra a p.

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