Cota ajustada asintótica

En análisis de algoritmos una cota ajustada asintótica es una función que sirve de cota tanto superior como inferior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación Θ(g(x)) para referirse a las funciones acotadas por la función g(x).

Más formalmente se define:

f(x)=Θ(g(x)).

Una función f(x) pertenece a Θ(g(x)) cuando existen constantes positivas y tales que a partir de un valor f(x) se encuentra atrapada entre y . Quiere decir que las funciones f y g son iguales a partir de un valor dado salvo por una factor constante. Por tanto tiene sentido tomar a g como un representante de f.

A pesar de que Θ(g(x)) está definido como un conjunto, se acostumbra escribir f(x)=Θ(g(x)) en lugar de f(x)∈Θ(g(x)). Muchas veces también se habla de la función en lugar de h(x)=x² siempre que esté claro cual es el parámetro de la función dentro de la expresión. En la gráfica se da un ejemplo esquemático de cómo se comportan y con respecto a f(x) cuando x tiende a infinito.

La cota ajustada asintótica tiene relación con las cotas superior e inferior asintóticas (respectivamente las notaciones O y Ω):

Ejemplos

  • La función f(x) = x+10 puede ser acotada por la función g(x) = x. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de x≥1 se cumple que g(x)≤f(x)≤11g(x), es decir x ≤ x+10 ≤ 11x . Por lo tanto x+10 = Θ(x).
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