Copo de nieve de Koch

Concepción artística de un Copo de Koch. Llamamos copo de Koch a la curva que describe el contorno de la figura.

El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental".[2]

En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces. La curva de Koch es un caso particular de curva de De Rham.

Construcción

Veamos el proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis primeras etapas de la construcción. La última curva es una buena aproximación de la curva final.

Construcción de la curva de Koch
1a iteración.
2a iteración.
3a iteración.
4a iteración.
5a iteración.
6a iteración.


Tres de estas curvas unidas forman el copo de nieve de Koch:

Construcción del Copo de Koch

Representación como sistema Lindenmayer

La curva de Koch se puede expresar en el sistema Lindenmayer

   Alfabeto : F
   Constantes : +, −
   Axioma : F++F++F
   Reglas de producción:
   F → F−F++F−F

Aquí, F significa «continua dibujando», + «gira 60 grados a la derecha, y - «gira 60 grados a la izquierda» (ver gráficas tortuga)

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