Convolución

Convolución en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D).
Convolución de dos Pulsos Cuadrados (La función resultante termina siendo un Pulso Triangular).
Convolución de un Pulso Cuadrado (como señal de entrada) con la respuesta al impulso de un condensador para obtener la señal de salida (respuesta del condensador a dicha señal).
Explicación visual de la convolución: # Expresar cada función en términos de una variable ficticia τ. # Reflejar una de las funciones: g(τ) → g(-τ). # Añadir un tiempo de desplazamiento t, lo que permite que g(t - τ) se deslice a lo largo del eje τ. # Hacer t igual a -∞ y deslizarlo hasta llegar a +∞. Siempre que las dos funciones se intersequen, encontrar la integral de su producto. En otras palabras, calcular el promedio ponderado desplazado de la función f(τ), donde la función peso es g(-τ). La forma de onda resultante (no mostrada aquí) es la convolución de las funciones f y g. Si f(t) es un impulso unitario, el resultado de este proceso es simplemente g(t), que se denomina por tanto la respuesta del impulso.

En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de media móvil, como se puede observar si una de las funciones se toma como la función característica de un intervalo.

Definición

La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia .

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t - η) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.

Si e son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.

Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).

Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones.

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