Convexidad

Definición de convexidad.

La convexidad (del latín convexĭtas, -ātis) de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica, es decir, que tiene su parte sobresaliente dirigida al observador. Es el concepto opuesto a la 'concavidad'.

Una parte C de un espacio vectorial real es convexa si para cada par de puntos de C, el segmento que los une está totalmente incluido en C; es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en línea recta, sin salir del mismo.

Envoltura convexa de un conjunto

Envolturas convexas de dos conjuntos.

Se llama envolvente convexa de un conjunto dado C al menor (por inclusión) conjunto convexo que contiene a C (es fácil ver que siempre existe). En la figura, la envoltura convexa de la forma azul oscuro es todo el dominio azul (es decir la unión del conjunto original azul oscuro con el dominio azul claro), y la envoltura convexa de los cinco puntos verde oscuro es el polígono verde claro (incluyendo los puntos, por supuesto). En particular, se define

y, como previamente dicho, se nota que, si , y es un conjunto convexo, entonces .

Se establece con facilidad que la envoltura convexa es el conjunto de todos los baricentros positivos (es decir con coeficientes todos positivos) de los puntos del conjunto inicial.

En la figura, C es un baricentro positivo de A y B porque está en el segmento [AB], y G es otro tanto de D,E y F, porque se encuentra en el triángulo DEF.

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