Convenio de suma de Einstein

Se denomina convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916.[1] Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorios sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición

Dada una expresión lineal en en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica la suma sobre todos los posibles valores del mismo.[2]

Índices

Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:[3]

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:[4]

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.[2]

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

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