Contrarrecíproco

Se llama contrarrecíproco o contraposición a una ley lógica, formalizada en los silogismos por Aristóteles, que establece que la negación de un consecuente implica la negación de su antecedente. Es decir, si una primera premisa implica una segunda premisa, se puede concluir que la negación de la segunda premisa implica la negación de la primera premisa. En consecuencia, la implicación original y su contrarrecíproco son equivalentes.

Esta ley lógica puede escribirse formalmente como:

Por ejemplo, la siguiente implicación

Está lloviendo, por lo tanto, te espero dentro del teatro.

es equivalente a su contrarrecíproco

No te espero dentro del teatro, por lo tanto, no está lloviendo.

El contrarrecíproco es una articulación alternativa del modus tollendo tollens de la lógica proposicional.

Definición formal

Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas. y puede definirse como la fórmula lógica

.

En efecto, si analizamos su tabla de valores de verdad:

A   B  (AB) B → ¬A)
V V V V V
V F F V F
F V V V V
F F V V V

Esta equivalencia queda clara, puesto que se obtiene una tautología.

La demostración de esta ley como regla del cálculo se realiza mediante la utilización de la regla "Introducción del negador", "Absurdo" o "Demostración indirecta" (diferentes nombres para una misma regla), de donde la regla "contrarrecíproco", también llamada de "contraposición" o "transposición" es derivada.

Aplicando las reglas del cálculo deducción natural:

     --1      
┌---  2           Supuesto provisional 1
│┌-- 3           Supuesto provisional 2
││   4           Modus Ponens, 1-3
│└-- 5           Producto 4-2; Cancelación supuesto 2
└--- 6           Absurdo, 3-5; Cancelación supuesto 1
      7           Teoría de la deducción, 2-6


Se expone aquí la fundamentación de una sola modalidad de las cuatro posibles, pues todas siguen los mismos pasos con iguales patrones, partiendo naturalmente del cambio de la premisa inicial.:[1]

Una vez fundamentada la ley en todos los casos posibles podemos establecer, como fórmulas equivalentes una regla de reemplazo de la siguiente forma:

Transposición

línea n (A → B) Fórmula de la cadena
============ Doble línea de cierre[2]
(¬B → ¬A) Transposición., línea n. Conclusión
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