Consistencia (lógica)

En metalógica, la consistencia o consistencia lógica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo ( axiomas y reglas de inferencia), no es posible deducir una fórmula y su negación. La existencia de un modelo implica que una teoría lógica es consistente.

Generalizando, la consistencia es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no es posible deducir una contradicción del mismo. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo, no es posible demostrar una fórmula y su negación. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p: y simultáneamente.

Introducción

La consistencia de un conjunto de proposiciones puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo :

Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ¬A ( i.e. la negación lógica de A) a partir del conjunto de fórmulas.[1]

Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la lógica proposicional: { p, q, (q→¬p), r }. Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre q y (q→¬p), es posible deducir ¬p. Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente. Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una tabla de verdad:

Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.

Un sistema formal es consistente si y sólo si el conjunto de sus teoremas es consistente.[1]

Por los teoremas de la incompletitud de Gödel sabemos que ningún sistema formal que tenga un mínimo de poder expresivo puede ser a la vez consistente y completo.