Conmutatividad

Ejemplo que muestra la conmutatividad de la suma: 3 + 2 = 2 + 3.

En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en que se toman. Esto se cumple en la adición y la multiplicación ordinarias: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto.

La conmutatividad de las operaciones elementales de sumar y multiplicar ya era conocida implícitamente desde la antigüedad, aunque no fue llamada así hasta principios del siglo XIX, época en que las matemáticas contemporáneas empezaban a formalizarse. Las sucesivas ampliaciones del concepto de número (números naturales, números enteros, números racionales, números reales) ampliaron el alcance de las operaciones de sumar y multiplicar, pero en todas ellas se preserva la conmutatividad. Esta propiedad también se satisface en muchas otras operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o el producto de polinomios o de funciones reales.

En contraposición a la adición y la multiplicación de números, la sustracción y la división no son operaciones conmutativas. Entre las operaciones no conmutativas cabe destacar también la composición de funciones, el producto de matrices y el producto vectorial.

A pesar de ser una propiedad aplicada básicamente a las operaciones matemáticas, la conmutatividad o la no conmutatividad son relevantes en otros campos cercanos como la lógica proposicional y algunas operaciones de teoría de conjuntos, y en algunas aplicaciones físicas tales como el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Fuera del ámbito científico, también se pueden encontrar ejemplos en la vida cotidiana, ya que la ejecución consecutiva de dos acciones puede tener un resultado diferente según el orden en que se ejecuten.

Definicion

De hecho, la conmutatividad es un caso particular del concepto de función simétrica. En efecto, una operación binaria en M no es más que una aplicación μ: M × M M, y afirmar que esta es simétrica, μ(x,y) = μ(y,x), es exactamente lo mismo que lo require la propiedad conmutativa.

Dada una operación binaria un conjunto M, se dice que dos elementos x, y de M conmutan (o que son permutables) cuando se cumple que xy = yx. Así pues, una operación es conmutativa cuando dos elementos cualesquiera conmutan.

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