Conmensurabilidad

En matemática, la conmensurabilidad es la característica de dos números conmensurables. Dos números reales, y , que no sean cero, son conmensurables sólo cuando la razón (a/b) es un número racional. Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.

Conmensurabilidad

La idea central del concepto conmensurabilidad no sólo es la posibilidad de comparación, sino la existencia de un factor común que pueda ser expresado.

El uso proviene de las traducciones de los Elementos de Euclides, en que dos segmentos, y , son llamados conmensurables precisamente si hay un tercer segmento, , que puede ser usado una cantidad de veces entera para producir un segmento congruente a , y otra cantidad de veces también entera para producir un segmento congruente a . Euclides no usó ningún concepto de número real, pero sí usó la noción de congruencia de segmentos (véase algoritmo de Euclides), y que un segmento era más largo o más corto que el otro.

Que a/b sea racional es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un número real , y números enteros y , tales que

y

Asumiendo por simplicidad que tanto como son números positivos, uno puede decir que una regla, marcada en unidades de longitud , se puede usar para medir tanto un segmento de longitud como uno de longitud . Eso significa que hay una unidad común de distancia en términos de la cual, tanto como se pueden medir (o mensurar); de ahí la conmensurabilidad. Si no fuese así, el par y sería inconmensurable.

En teoría de grupos, se puede generalizar a pares de subgrupos notando que en el caso dado, los subgrupos de los enteros (como grupo aditivo) generados respectivamente por y por , se intersecan en el subgrupo generado por , donde es el mínimo común múltiplo de y . La intersección tiene índice finito en los enteros, y por lo tanto en cada uno de los subgrupos. En general, los subgrupos A y B de un grupo son conmensurables cuando su intersección tiene índice finito en cada uno de ellos.

Para los subespacios de un espacio vectorial se puede definir una relación similar, en términos de proyecciones que tienen núcleo y conúcleo de dimensión finita.

En cambio, dos subespacios y que son dados sobre un álgebra de Lie no son necesariamente conmensurables si son descritos como representaciones dimensionales infinitas. Además, si los espacios completos de tipos de módulo correspondiente a y no son bien definidos, entonces y son inconmensurables. pero también cuando dos números potenciales se juntan forman las magnitudes conmensurables

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