Conjunto parcialmente ordenado

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un conjunto parcialmente ordenado (o poset, del inglés partially ordered set) es un conjunto equipado con una relación binaria de orden parcial, que formaliza el concepto intuitivo de orden, secuencia, o arreglo de los elementos del conjunto. Tal orden no necesariamente debe ser total, es decir, no se necesita que se puedan comparar unos con otros todos los elementos del conjunto. Sin embargo esto puede ocurrir en algunos casos (en otras palabras, el orden total es un caso particular del orden parcial).

Definición formal

Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total Acotado Orden total acotadoClasiBinaEs 004.svg
Acerca de esta imagen

Un orden parcial es una relación binaria R sobre un conjunto X que es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para cualesquiera a, b, y c en X se tiene que:

  • aRa (reflexividad).
  • Si aRb y bRa, entonces a = b (antisimetría).
  • Si aRb y bRc, entonces aRc (transitividad).

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o poset. A veces se usa la expresión conjunto ordenado para uno parcialmente ordenado, siempre que quede claro que no se hará referencia a otras clases de orden. En particular, a un conjunto totalmente ordenado también se lo llama ordenado a secas, en especial en campos donde éstos son más comunes que los parcialmente ordenados.

Usualmente se usa la notación de "≤" en lugar de "R" para el orden total, ya que este cumple con la tricotomía.

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