Conjunto numerable

En matemáticas, particularmente en la Teoría de Conjuntos, un conjunto T es numerable o contable cuando entre este conjunto y el conjunto de todos los números naturales se puede establecer una biyección. De modo que el conjunto tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto ℕ.

Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda permitiendo conjuntos finitos.

Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que marcaría el nacimiento de la teoría de conjuntos.[1] Sin embargo, su importancia se manifiesta en numerosos campos de las matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en topología.

Ejemplos

  • El conjunto de todos los números pares, es numerable porque la función:

es una biyección: cada número natural corresponde a un único número par y viceversa.

  • El conjunto de todos los enteros también es numerable.
  • Además el conjunto de todos los números racionales es numerable.[2]
  • El conjunto es numerable.
  • Se deriva del enunciado anterior que el conjunto de todos los racionales también es numerable, teniendo en cuenta que , donde no contiene el 0 .
  • Por inducción puede probarse que son numerables para cualquier número natural k.
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